Weblinks
· http://www.goldener-schnitt.de.vu (ständig aktualisierte Bibliographie)
· http://www.khg.bamberg.de/comenius/gold/inhgs.htm - Projekt am Kaiser-Heinrich-Gymnasium Bamberg
· http://www.marcus-frings.de/text-gs.htm - Marcus Frings: 'Der Goldene Schnitt' (kritische Analyse)
· http://www.nexusjournal.com/Frings.html - Marcus Frings (TU Darmstadt): The Golden Section in Architectural Theory (kritische Analyse)
· http://www-ojt.fh-reutlingen.de/sectio-aurea/inhalt137,5grad.html - insbes. Fechners Ergebnisse S. 66-67
· http://www.math.smith.edu/~phyllo Der Goldene Schnitt in der Biologie (englisch).
· http://www.goldennumber.net - Beispiel für eine eher unkritische Maximal-Sammlung zum Vorkommen des Goldenen Schnittes (englisch)
· http://mathworld.wolfram.com/GoldenRatio.html
· http://www.goldenmuseum.com
· http://www.j-berkemeier.de/Spiralen.html - Kleine Abhandlung über Spiralen, Fibonacci-Zahlen und den Goldenen Schnitt. Mit Onlineberechnung.
· http://www.dw-world.de/dw/article/0,1564,1574311,00.html "Höhere Pflanzen-Mathematik"
· wikisource:Phi_to_30,000_places - Φ mit 30.000 Dezimalstellen.
· http://www.paranormal.de/paramirr/geo/11.html Grafiken zu Fibonacci-Spirale & Goldener Schnitt
· http://freenet.meome.de/app/fn/artcont_portal_news_article.jsp?catId=75962 KAM-Bahnen - Anschaulich erläutert

Der Goldene Schnitt (lat. sectio aurea) ist ein bestimmtes Verhältnis zweier Zahlen, meist Längen von Strecken, das in der Kunst und Architektur oft als ideale Proportion und als Inbegriff von Ästhetik und Harmonie angesehen wird. Darüber hinaus tritt es auch in der Natur in Erscheinung und zeichnet sich durch eine Reihe interessanter mathematischer Eigenschaften aus. Weitere verwendete Bezeichnungen sind stetige Teilung und göttliche Teilung (lat. proportio divina).
Biologie
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Proportionen des menschlichen Körpers
Im 19. Jahrhundert war die Ansicht weit verbreitet, der Goldene Schnitt sei ein göttliches Naturgesetz und in vielfacher Weise auch in den Proportionen des menschlichen Körpers realisiert. So nahm Adolf Zeising in seinem Buch über die Proportionen des menschlichen Körpers (Lit.: Zeising, 1854) an, dass der Nabel die Körpergröße im Verhältnis des Goldenen Schnitts teile, und der untere Abschnitt werde durch das Knie wiederum so geteilt. Ferner scheinen die Verhältnisse benachbarter Teile der Gliedmaßen wie beispielsweise bei Ober- und Unterarm sowie bei den Fingerknochen ungefähr in diesem Verhältnis zu stehen. Eine genaue Überprüfung ergibt jedoch Streuungen des Verhältnisses im 20-Prozent-Bereich. Oft enthält auch die Definition, wie beispielsweise die Länge eines Körperteils exakt zu bestimmen sei, eine gewisse Portion Willkür. Ferner fehlt dieser These bis heute eine wissenschaftliche Grundlage. Es dominiert daher weitgehend die Ansicht, dass diese Beobachtungen lediglich die Folge gezielter Selektion von benachbarten Paaren aus einer Menge von beliebigen Größen sind.
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Botanik
Anordnung von Blättern im Abstand des Goldenen Winkels von oben betrachtet. Das Sonnenlicht wird optimal genutzt.Das spektakulärste Beispiel für die Realisierung des Goldene Schnitts in der Natur findet sich bei der Anordnung von Blättern (Phyllotaxis) und in Blütenständen mancher Pflanzen. Bei diesen Pflanzen teilt der Winkel zwischen zwei aufeinanderfolgenden Blättern den Vollkreis von 360° im Verhältnis des Goldenen Schnittes, wenn man die beiden Blattwurzeln durch eine Parallelverschiebung eines der Blätter entlang der Pflanzenachse zur Deckung bringt. Es handelt sich um den Goldenen Winkel von etwa 137,5°.Beispiele sind die Sonnenblume, Kohlarten, Kiefernnadel an jungen Ästen, Zapfen, Agaven, viele Palmen- und Yuccaarten und die Blütenblätter der Rose, um nur einige zu nennen.Ursache ist das Bestreben dieser Pflanzen, ihre Blätter auf ausreichenden Abstand zu halten. Es wird vermutet, dass sie dazu an jeder Blattwurzel einen Inhibitor produziert, einen speziellen Wachstumshemmer, der im Planzenstamm vor allem nach oben, in geringerem Umfang aber auch in seitlicher Richtung diffundiert. Dabei bilden sich in verschiedene Richtungen bestimmte Konzentrationsgefälle aus. Das nächste Blatt entwickelt sich an einer Stelle des Umfangs, wo die Konzentration minimal ist. Dabei stellt sich ein bestimmter Winkel zum Vorgänger ein. Würde dieser Winkel den Vollkreis im Verhältnis einer rationalen Zahl m/n teilen, dann würde dieses Blatt genau in die gleiche Richtung wachsen wie dasjenige n Blätter zuvor. Der Beitrag dieses Blattes zur Konzentration des Inhibitors ist aber an dieser Stelle gerade maximal. Daher stellt sich ein Winkel mit einem Verhältnis ein, das alle rationalen Zahlen meidet. Die Zahl, die in diesem Sinne die irrationalste aller Zahlen ist, ist nun aber gerade der Goldene Schnitt (siehe unten). Da bisher kein solcher Inhibitor isoliert werden konnte, werden auch andere Hypothesen diskutiert, wie beispielsweise die Steuerung dieser Vorgänge in analoger Weise durch Konzentrationsverteilungen von Nährstoffen.Der Nutzen für die Pflanze könnte darin bestehen, dass auf diese Weise von oben einfallendes Sonnenlicht optimal genutzt wird, eine Vermutung, die bereits Leonardo da Vinci äußerte, oder auch im effizienteren Transport der durch Photosynthese entstandenen Zuckerlösung in Phloem-Leitbündeln nach unten. Bei anderen Pflanzen wiederum treten Blattspiralen mit anderen Stellungswinkeln auf. So wird bei manchen Kakteenarten ein Winkel von 99,5° beobachtet, der mit der Variante der Fibonacci-Folge 1, 3, 4, 7, 11, ... korrespondiert. In Computersimulationen des Pflanzenwachstums lassen sich diese verschieden Verhaltensweisen durch geeignete Wahl der Diffusionskoeffizienten des Inhibitors provozieren. Fichtenzapfen mit 5, 8 und 13 Fibonacci-Spiralen. Sonnenblume mit 34 und 55 Fibonacci-Spiralen. Berechneter Blütenstand mit 1000 Samen im Goldenen Winkel. Es stellen sich 13, 21, 34 und 55 Fibonacci-Spiralen ein.Bei vielen nach dem Goldenen Schnitt organisierten Pflanzen bilden sich in diesem Zusammenhang so genannte Fibonacci-Spiralen aus. So bilden die Schuppen eines Fichtenzapfens 5 Spiralen in die eine Richtung und 8 in die andere. Bei einer Ananas mittlerer Größe sind 8 und 13 Spiralen zu sehen. Gelegentlich ist sogar noch ein dritter Spiraltyp zu erkennen. Spiralen dieser Art sind besonders gut zu erkennen, wenn der Blattabstand im Vergleich zum Umfang des Pflanzenstammes besonders klein ist. Sie werden nicht von aufeinander folgenden Blättern gebildet, sondern von solchen im Abstand n, wobei n eine Fibonacci-Zahl ist. Solche Blätter befinden sich in enger Nachbarschaft, denn das n-fache des Goldenen Winkels Ψ ist ungefähr ein Vielfaches von 360° wegen , wobei m die nächst kleinere Fibonacci-Zahl zu n ist. Da jedes der Blätter zwischen diesen beiden zu einer anderen Spirale gehört, sind n Spiralen zu sehen. Ist n/m größer als Φ so ist das Verhältnis der beiden nächsten Fibonacci-Zahlen kleiner und umgekehrt. Daher sind in beide Richtungen Spiralen zu aufeinander folgenden Fibonaccizahlen zu sehen. Der Drehsinn der beiden Spiralentypen ist dem Zufall überlassen, sodass beide Möglichkeiten gleich häufig auftreten.Besonders beeindruckend sind Fibonacci-Spiralen in flachen Blütenständen wie beispielsweise bei Sonnenblumen, Gänseblümchen und Disteln. Pflanzenarchitektonisch entsprechen den einzelnen Samen Blätter, wobei jedes einzelne einem eigenen Kreis um den Mittelpunkt des Blütenstandes zugeordnet werden kann, so als hätte man einen Pflanzenstamm mit seinen Blättern wie ein Teleskop zusammengeschoben. Wachtumstechnisch aufeinander folgende Samen liegen daher räumlich weit auseinander, während direkte Nachbarn wieder einen Abstand entsprechend einer Fibonacci-Zahl haben. Im äußeren Bereich von Sonnenblumen zählt man 34 und 55 Spiralen, bei größeren Exemplaren sogar 55 und 89. Die Abweichung vom mathematischen Goldenen Winkel, die in diesem Fall nicht überschritten wird, beträgt weniger als 0,01 Prozent.Der Goldene Schnitt lässt sich natürlich auch über radiärsymmetrische fünfzählige Blüten konstruieren wie beispielsweise bei der Glockenblume, der Akelei und der (wilden) Heckenrose. Der Abstand der Spitzen von Blütenblättern nächster Nachbarn zu dem der übernächsten steht wie beim regelmäßigen Fünfeck üblich im diesem Verhältnis. Das betrifft natürlich auch Seesterne und andere Tiere mit fünfzähliger Symmetrie. Goldener Schnitt im EfeublattDarüber hinaus wird der Goldene Schnitt auch im Verhältnis der Längen aufeinander folgender Stängelabschnitte mancher Pflanzen vermutet wie beispielsweise bei der Pappel. Auch im Efeublatt stehen die Blattachsen a und b (siehe Abbildung) ungefähr im Verhältnis des Goldenen Schnittes. Diese Beispiele sind jedoch umstritten.

Unterhaltsame Waldmathematik Obwohl Mathematik uns stets im Alltag in Form von Maßzahlen (und Geld) begegnet, fassen Kinder oft den Gebrauch der Zahlen und Geometrie als etwas Fremdes auf, das nichts mit ihrer primären Lebenserfahrung zu tun hat.m Wald kommen wir weg von Tafel und Kreide: Die Natur bietet nämlich Anschauungsunterricht für fast alle mathematischen Zusammenhänge. Unterwegs legen wir speziellen Wert darauf, mathematische Muster in der Natur zu erkennen – das können z.B. Vogelmelodien oder Tannenzapfen sein! Obendrein ist die Unterrichtssituation im Wald "von Natur aus" offen und einladend. Methodik: lösungsorientierte Zusamenarbeit mehrer Schüler in kleinen Teams. Zuletzt präsentiert jedes Team dem Rest der Klasse seine Aufgabe und diskutiert den Lösungsweg. Kleine Aufwärmspiele zwischendurch. Der Inhalt wird je nach Bedürfnissen des Lehrers zusammengestellt. Hier sind zusätzlich einige Vorschläge: Für 2.-4. KlSortieren und Mengenbildung von den arttypischen Merkmalen von Waldbäumen.Arbeit mit Mengenlehre.Bildung geometrischer Grundformen mit Seil und Bäumen.Für 5.-7. KlMessen und Berechnen von Naturobjekten, z.B. gefällte Bäume.Kartierung eines kleinen Waldstücks mittels Koordinatensystem ("Schatzkarte").Für 7.-10. Kl.:Baumhöhenmessung mit zentrischer StreckungPeilen mit dem Bleistift für "unmeßbare"Objekte Mechanik: Wieviel Wasser fließt im Bach?
(Quelle: www.schulmodell.de/mathe/buecher/sknor.htm)

http://www.tydecks.info/online/math_natur_phil.html
http://www.tydecks.info/online/math_natur_deu.html
http://www.stauff.de/methoden/dateien/muster2.htm
http://www.schulmodell.de/mathe/buecher/sknor.htm
http://de.wikipedia.org/wiki/Goldener_Schnitt

Wenn man so durch die Natur streift, kommen einem immer wieder neue Ideen in den Sinn, was man noch in den Matheunterricht einbauen könnte.
Mir kam die Idee eines Zahlenstrahls in den Sinn. Aber nicht ein gewöhnlicher Zahlenstrahl, sondern ein selbstgebastelter Zahlenstrahl aus Naturmaterialien. Dieser Zahlenstrahl kann auf unendlich viele Arten und mit vielen unterschiedlichen Materialien hergestellt werden. Zunächst müssen allerdings die Materialien gesammelt werden, dieses kann durch die Schüler selbst oder den Lehrer im Vorwege geschehen. Wenn das geschehen ist beginnt die Arbeit. Hierbei ist es freigestellt, ob die Schüler ohne Anweisungen und genauere Informationen arbeiten oder ob der Lehrer eine Vorgabe macht an die sich die Arbeit der Schüler anlehnen sollen. Spannend ist es bestimmt der Phantasie der Kinder freien Lauf zu lassen.
Im groben sollte der Zahlenstrahl aus einer waagerechten Linie und mehreren senkrechten Linien bestehen, das Material hierfür ist frei wählbar.
Um die Vorstellung etwas zu unterstützen hier ein Beispiel meinerseits:
Als Unterlage wähle ich mehrere aneinander geklebte DIN A4 Blätter, darauf klebe ich in waagerechter Richtung lange Grashalme, Stroh oder Bambus eignet sich auch sehr gut. Auf diese lange Linie klebe ich jetzt kurze senkrechte Stücke beispielsweise aus kleinen Stöckern, Steinen oder aber auch Blumen eignen sich, diese Stücke sollten nach Möglichkeit den gleichen Abstand haben, wozu ein Lineal gebraucht werden sollte. Danach können mit bunten Stiften Maßangaben angeschrieben werden.

Bei dieser Arbeit werden unterschiedlichste Aufgaben miteinander verbunden, wie zum Beispiel den Gebrauch eines Lineals, sowie Schere, usw. oder aber auch Inhalte, wie Maßangaben (cm, m, mm), Längen messen, Verhältnisse erkennen, usw. werden entdeckt bzw. erlernt.

3: Möglichkeit

Eine weitere Möglichkeit den Kindern das Rechnen näher zu bringen, ist ihnen die Aufgabe zu geben, Gegenstände aus der Natur zu sammeln, zum Beispiel 3 Blätter, 2 Grashalme und 5 Blumen.
Oder man geht gemeinsam mit den Kinder raus, um mit ihnen Blätter, Blumen, Grashalme und Stöcke zu sammeln und sie hinterher gemeinsam zu zählen.


4. Möglichkeit

Die Kinder bekommen vom Lehrer Grashalme (oder man sammelt sie gemeinsam mit ihnen) und lässt sie die Zahlen mit den Grashalmen legen. Die Kinder kommen mit der Natur in Berührung und lernen, die einzelnen Zahlen zu schreiben.

Zur Veranstaltung: Informations- und Kommunikationstechnik

2. Möglichkeit
Eine weitere Möglichkeit um Kindern Begegnungen mit Mathematik und Natur zu ermöglichen, wäre eine Fühlkiste. In diese Fühlkiste könnte man verschiedene Naturmaterialien, wie Steine, Muscheln, Blätter, Stöcke, etc. geben und die Kinder dann die Anzahl bestimmter Gegenstände ertasten lassen.
Ein Beispiel: in der Kiste befinden sich 3 Steine, eine Muschel und 2 Stöcke. Das Kind wird zunächst gefragt was für Gegenstände es ertasten kann. Danach wird gefragt wie viele Steine es fühlen kann oder wie viele Stöcke oder Muscheln. Es kann hierbei individuell auf die Fähigkeiten des Kindes eingegangen werden. Wenn es zum Beispiel schwer fällt überhaupt zu Fühlen um was für einen Gegenstand es sich handelt, werden erst einmal nur wenige Gegenstände in die Kiste getan.

Hier eine kurze Bastelanleitung:
Material:
· Schuhkarton oder größeren Karton mit Deckel
· Schere
· Klebeband
· Ein kleines Stück Stoff
· Naturmaterialien (Steine, Stöcke, Muscheln, Tannenzapfen, etc.)

Anleitung:
In die Längsseite des Kartons werden mit einer Schere zwei Löcher ( als Vorlage hierfür kann ein Trinkglas dienen) geschnitten.
Diese werden dann mit Hilfe von Klebstoff oder Klebeband mit einem Stück Stoff verdeckt.
Um die Materialien in den Karton zu bekommen wird ein Loch in die kurze Seite geschnitten und ebenfalls mit Stoff verdeckt, oder es wird ein Loch in den Deckel geschnitten, das aber auch verdecktbar sein muss.
Zum Schluss wird der Deckel mit dem Klebeband verschlossen ( oder er bleibt unverklebt um die Kiste so zu befüllen).
Skizze:







Als letzte Anregung möchte ich hinzufügen, dass diese Kisten auch von den Kindern selbst gebaut werden könnten und dann untereinander die Kisten ausprobiert werden können.

Zur Veranstaltung: Informations- und Kommunikationstechnik

Wir sollten uns Gedanken zum Thema Naturmaterialien für den Mathematikunterricht machen.
Uns kamen sofort einige Ideen, die wir hier einmal gesammelt haben.
1. Möglichkeit
Um erste Bekanntschaft mit Zahlen und dem Zählen zu machen eignen sich Fotografien von Tierherden mit unterschiedlichen Tieren und Anzahlen sehr gut. Tiere sind Bestandteil der Natur und können somit bei den Kindern die Neugier auf die Natur neu wecken und sie entdecken die Natur vielleicht auf eine neue Art und Weise. Da die meisten Kinder schon außerschulische Kontakte zu unterschiedlichen Tieren haben, lassen sich gut neue und fremde Erfahrungen und Erlebnisse damit verknüpfen. Außerdem ist der Aufforderungscharakter in meinen Augen um vieles größer, als wenn die Kinder etwas neues, fremdes Lernen sollen und dazu noch Materialien verwenden sollen, die ihnen ebenfalls fremd sind. Auf jeden Fall eignen sich solche Fotos von Tierherden um den ersten Einstieg zu machen und um Die Kinder zu motivieren.
(Beispielfotos folgen)